学習指導案2 サンプル

 

指導者      :○○ ○○

指導日時     200○年 ○月○日○曜日 34時限

指導場所     :コンピュータ教室

指導学級(講座) :物理2○(男子○○名,女子○○名,計○○名)

指導教官     :○○ ○○先生

T 単元

 「単振り子の運動」

U 単元設定の理由

・単元観

 空気抵抗が無視できる条件の下、一様な重力がかかっている状態での単振り子の運動をどのように捉えていけばよいのかを学ぶ。運動の法則を用いて数学的に記述し、理解することを目指す。

・生徒観

  ○○○○○○○

・指導観

単振り子の運動の性質を実際に目で見て理解してもらうことを第一の目的とする。Mathbrainによるコンピュータシミュレーションを体験することにより、単振り子の運動の特徴を生徒自ら視覚的に捉えられるであろう。

V 単元の目標

  ○○○○○○○

W 単元の資料・教具

教科書、コンピュータ、キーボード、マウス、ディスプレイ、Mathbrain Ver 2.03

X 単元の展開計画

水平投射の指導案に記述されている、微分方程式の数値解法の概念の理解がすでに説明されている事を前提とします。

1、2時限  単振動、振り子の運動(導入)

3時限  近似式による単振り子の運動、数値解法による

     正確な単振り子の運動(コンピュータ実習)―――本時

4時限 (時間が許されれば指導が求められる応用)

単元の応用(二重振り子のシミュレーションの観察)―――本時([)

5時限    単振り子の運動まとめ

Y 本時の指導計画

1.小単元名

  「単振り子の運動(コンピュータ実習)」

2.本時の教材観,生徒観,指導観

・本時の教材観

Mathbrainを用い、サンプルに標準付属のファイル(振り子近似解との比較)、或いは指導者の製作による、単振り子の運動のコンピュータシミュレーションを行う。Mathbrainでは、標準にて初速度、初期角度等が設定されている。それらは容易に変更可能なため、色々な値を決定し、入力する。計算を実行すると、空気抵抗を無視し、重力加速度が一様であるとした理想的条件下での単振り子のアニメーションが二次元座標系に描かれる。更に、グラフモードをストロボプロットモードにすることにより、単振り子の周期がである事を確認する。

・本時の生徒観

 生徒はコンピュータを使った授業を好む事が期待でき、物理に対する興味を持つ事が期待される。また、この講座はコンピュータの操作に不慣れで、手間取る生徒がいる可能性がある。

・本時の指導観

 本時の学習にて生徒がソフトの使用方法で躓く事は本来の目的からそれるため、コンピュータによる数値計算ソフトの概念や標準的な記述法について言及するが、ソフトに依存する機能については詳細な説明に時間をかけることは避ける。折角コンピュータを使用するのだから、出来る限り様々な条件を試して自主的にシミュレーションをさせる事に重きを置きたい。

3.本時の目標

 ・振り子の方程式にてsinθ≒θとの近似を行った時には、周期が質量や振幅に依存しないことが理解できる事。

 ・上記の近似式は、振幅が0の時にしか正確ではなく、近似を行わず、数値解法にて正確な式を計算すると周期はにならないことの確認。

 ・近似を行わず、数値解法にて正確な式を計算すると、周期は振幅により変化する事を理解する。

 ・近似を行った式と、正確な式とでどれほどの差が出るか、その誤差が振幅により大きくなる事を理解する。

 ・特にこのような、シンプルなモデルでもコンピュータによる数値解法でないと解けない事を学び、コンピュータを使用した数値計算に興味を持たせる。

 

5.本時の展開

 

時間、段階

学習内容

教師の活動

生徒の活動

導入 

10分/100

単振り子の運動の説明

単振り子の運動の簡単な理論説明

展開1

5分/100

実習の準備

コンピュータでMathbrainを起動し、高校用サンプルの中の「単振り子近似解.dxy」を開く。

コンピュータでMathbrainを起動し、高校用サンプルの中の「単振り子近似解.dxy」を開く。

展開2

10分/100

操作に慣れる

Mathbrain上の単振り子の運動の近似された式の説明と、パラメータ類の意味と変更方法の説明。

周期プロットモードの説明(標準で単振り子の周期である2pi*sqrt(l/g)に設定されている)。

説明を聞き、操作を始める。まずは、計算開始ボタンを押して標準条件にて計算を行い、視覚的に単振り子の運動を観察する。この時、単振り子の周期が振幅に依存しない事を、アニメーションによる目視及び、周期プロットモードにて確認。

さらに振幅を、様々な値に変えて同様に計算を行う。

展開3

2分/100

次のシミュレーションの準備

Mathbrainにて新しいファイル「振り子近似解との比較.dxy」を開く。 Mathbrainにて新しいファイル「振り子近似解との比較.dxy」を開く。

展開4

10分/100

近似式の解と、近似しない式の解の比較。

Mathbrain上の近似式と、近似していない式の説明。

近似していない式は解析的に解けないが、コンピュータによる微分方程式の数値解法により解けることの説明。

青い○が、近似してない式、赤い○が近似式である事の説明。

説明を聞き、操作を始める。まずは、計算開始ボタンを押して標準条件にて計算を行い、視覚的に単振り子の、近似式と近似していない式の運動に違いがかなり有る事を観察する。次に、周期プロットモードにて、近似していない本当の単振り子の運動では周期が2pi*sqrt(l/g)にはならないことの確認。(赤は同じ点を打つが、青は同じ点を打たない)

振幅を変えて、振幅が大きいほど両者の差が大きくなる事の確認。

展開5

2分/100

次のシミュレーションの準備

Mathbrainにて新しいファイル「単振り子空気抵抗あり.dxy」を開く。 Mathbrainにて新しいファイル「単振り子空気抵抗あり.dxy」を開く。

展開6

11分/100

空気抵抗を考慮した単振り子の運動の観察

空気抵抗を考慮した式の説明と、空気抵抗パラメータの説明。現実モデルに起きる他の力を提案させる(糸の付け根の抵抗など)。生徒からの提案を、出来る限り式に反映させて生徒に計算を行わせる。

説明を聞き、操作を始める。近似を行わず、空気抵抗を考慮した現実に最も近いモデルのシミュレーションを観察し、空気抵抗を変化させたり、他の考慮するべき力を自分で考え、式に反映させる。

6.本時の評価

  ○○○○○○○

7.本時の指導内容のまとめ(板書事項)

  ○○○○○○○

 

Z 単元の評価

  ○○○○○○○

 

[ 単元の応用(二重振り子のシミュレーションの観察)

 ・本時の目的

 振り子の先に、もう一つ振り子をつけた二重振り子の運動(カオス運動)を観察し、簡単なモデルでもカオス運動をすることを学び、実際にカオスに触れる事。

 ・本時の生徒観

  ○○○○○○○

 ・本時の指導観

  本時では、刻み値など、微分方程式の数値解法の概念と、数値解法により可能となったシミュレーションについて説明される事が望ましい。Mathbrainでは微分方程式の解法に、ルンゲ=クッタ法を使用しているが、詳細な計算アリゴリズムなどには言及しなくても良いと考える。

8.本時の展開

  概要(詳細は上記と同様のため省略):

Mathbrainのサンプルファイルから、「2重振り子.dxy」を開き、計算を実行する。ストロボプロットモードにすることにより、軌跡描画に切り替える事が出来る。

式の詳細の説明は省略し、実際にカオス運動をするものに触れさせる事を目的とする。

 

 *Mathbrainにより、実際に計算されたグラフ。